Sin første undervisning fik Z. i hjemmet, hvis religiøsitet gav ham sit præg for hele livet. Senere, da faderen blev præst i Sorø, kom han i 1849 ind i den lærde Skole der. Allerede i skoletiden havde matematikken tiltrukket sig hans interesse. Herved har det måske ikke været uden betydning, at han kunne dele denne interesse med en skolekammerat, den senere professor i matematik, Julius Petersen.
I 1857 blev Z. dimitteret fra Sorø, og året efter underkastede han sig den filosofiske prøve. Straks efter studentereksamen havde han valgt matematikken til studiefag. På den polytekniske læreanstalt lærte han hos Kolling den højere matematiks elementer efter Ramus lærebøger, ved universitetet fulgte han Jürgensens og Steens forelæsninger, og ved siden heraf studerede han den ny litteratur på geometriens område, især Chasles og Salmons arbejder.
I 1862 tog Z.magisterkonferens, og året efter satte et rejsestipendium ham i stand til at rejse til Paris og fortsætte sine studier hos Chasles selv. Den personlige berøring med denne fremragende videnskabsmand har i flere retninger sat spor i Z.s videnskabelige produktion.
Da krigen med Tyskland udbrød, vendte Z. i april 1864 hjem for at aftjene sin værnepligt som ofricersaspirant i artilleriet. Krigen endte dog, før uddannelsen var færdig.
Rejsen til Paris og krigen havde afbrudt Z.s undervisningsvirksomhed, og da der hengik nogen tid, inden der atter bød sig lejlighed til at gjenoptage denne, fik han ro til med kraft at fremme de undersøgelser vedrørende systemer af keglesnit, som han under påavirkning af Chasles allerede havde påbegyndt i Paris. Resultaterne samlede han i en doktordisputats, som han forsvarede i slutningen af 1865.
Nu fulgte i årenes løb en rig videnskabelig produktion, dels i form af ahandlinger spredte i inden- og udenlandske tidsskrifter, dels i form af større værker.
Ved sine antalgeometriske undersøgelser har Z. på den ene side givet et meget væsentligt bidrag til udarbejdelsen af antalgeometriens metode, til udformningen af de forskjellige korrespondanceprincipper osv.; på den anden side har han benyttet det udformede matematiske instrument til omfattende undersøgelser af det stof, der lader sig behandle med det.
Z. kan ikke alene se tilbage paa en rig videnskabelig produktion, men også paa en omfattende virksomhed som universitetslærer. Før 1871 var der ved Københavns Universitet to «Professores matheseos», som delte mathematikken og astronomien imellem sig. Studiet af matematikken havde siden oprettelsen af
den polytekniske Læreanstalt 1829 og den militære Højskole 1830 taget et sådant opsving her hjemme, og den matematiske videnskab var i omfang vokset så stærkt, at oprettelsen af en ny lærerpost i matematik ved universitetet var blevet meget ønskelig.
På professor Steens varme anbefaling blev Z. 1871 udnævnt til docent; 1886 udnævntes han til ordinær professor. Siden 1885 har han desuden på den polytekniske Læreanstalt foredraget det almindelige kursus i den højere matematik.
Han var universitetets rektor for året 1895-1896.
I det kirkelige liv har Z. paa forskellig måde taget virksom del; han havde således i en årrække sæde i bestyrelsen for dansk Missionsselskab og for St. Jakobs menighedssamfund. Han er formand i Studenterhjemmets tilsynsråd og medlem af det københavnske kirkefonds bestyrelse.
Z. har i alle kredse, som han er kommet i berøring med, vundet almindelig højagtelse ved sin varmtfølende og rettænkende personlighed. Hans videnskabelige virksomhed har fundet stor anerkendelse både her hjemme og udenlands.
I 1872 blev han valgt til medlem af Videnskabernes Selskab; fra 1878 har han været dets virksomme og højt skattede sekretær, og siden 1901 er han det ene medlem af dets udvalg for den internationale association af akademier.
Mere talende end nogen anden dmærkelse var det, da det franske akademi 1900 efter Lies død valgte ham til korresponderende medlem.
1898 blev han kommandør af Danebrog af 2. Grad.
Z. ægtede 1. (18. Dec. 1867) Julie Henriette
Jespersen (f. 4. Avg. 1846 d. 16. Juli 1876), Datter af Stiftsfysikus i
Aarhus Jacob Wilhelm J. (f. 25. Juli 1805 d. 27. Juli 1860), 2. (20. Avg.
1879) Louise Marie Christine Jespersen (f. 15. April 1842 d. 8. Febr.
1886), Søster til den foregaaende, og 3. (8. Nov. 1887) Sophie
Christine Frederikke Lawaetz (f. 13. Dec. 1860), Datter af Forpagter
Friderich August L. (d. 1872).
Indbydelsesskrift til Reformationsfesten 1866.
Poggendorff, Biographisch-litterariches Handwörterbuch.
Poul Heegaard.
